FUNCIONES

FUNCIÓN POLINOMIAL

• Las funciones polinomiales y su representación gráfica, tienen gran importancia en la Matemática. Estas funciones son modelos que describen relaciones entre dos variables que intervienen en diversos problemas y/o fenómenos que provienen del mundo real. La función polinomial se llama si porque generalmente su expresión algebraica es un polinomio.

CARACTERÍSTICAS

• Las características generales de las funciones polinómicas son las siguientes: 1) El dominio de definición es el conjunto de los números reales (R).2) Son siempre continuas. 3) No tienen asíntotas. 4) Cortan al eje X, como máximo, un número de veces igual que el grado del polinomio. 

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• 5) Cortan el eje Y en el punto (0, a0). 6) El número de máximos y mínimos relativos es, a lo sumo, igual al grado del polinomio menos uno. 7) El número de puntos de inflexión es, a lo sumo, igual al grado del polinomio menos dos.

EJEMPLO:Encontrar las raíces de la función f x = x 3 + 3 x 2 + 2 x
Solución: Buscamos resolver la ecuación f(x)=0. Factorizando la expresión obtenemos:
f x = x x+1 x+2
Recordemos que si A×B=0 entonces A=0 o B=0. Por lo que:
X=0 o x+1=0x= -1 o x+2=0x= -2
Las raíces de la función f x = x 3 + 3 x 2 + 2 x son x=0, x=-1 y x=-2
Puedes visualizar estas raíces observando la gráfica de esta función, que es la siguiente

FUNCIÓN LINEAL

• En geometría y álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:      f(x)=mx+b

EJEMPLO

• 1. f (x) = 5x + 13 Solución: 1. f (x) = 5x + 13 m = la pendiente es 5 b = 13

FUNCIÓN CUADRADA

• Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola. f(x) = ax² + bx + c

CARACTERÍSTICAS

• El dominio es el conjunto de los números reales. 2. Son continuas en todo su dominio. 3. Siempre cortan al eje Y en el punto (0, c). 4. Cortarán al eje X (en uno o dos puntos) o no, dependiendo de las soluciones de la ecuación ax2+ bx + c = 0. 5. Si a > 0 la parábola está abierta hacia arriba y si a

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• 6. Cuanto mayor sea |a|, más estilizada es la parábola. 7. Tienen un vértice, punto donde la función alcanza un mínimo (a > 0) o un máximo(a 0, la función es creciente para valores de x a la derecha del vértice y decreciente para valores a la izquierda del vértice.

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• 10. Si a 0 es convexa y si a

EJEMPLO:

• Ejemplo 1 Calcular la función, la tabla y el gráfico para la ecuación 4x2 + 3x –5 = 6 Comenzamos por hacer que el resultado de la ecuación sea igual a cero: Restamos 6 en ambos lados: 4x2 + 3x –5 –6 = 6 –6 Obtenemos 4x2 + 3x –11 = 0 

FUNCIÓN CÚBICA

• La función cúbica se define como el polinomio de tercer grado; el cual se expresa de la forma: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d con a ≠ 0, a, b, c y d Œ IR

CARACTERÍSTICAS

• 1)   Tipo de función:    función cúbica. 2)   Dominio:    Dom(f) = R 3)   Recorrido o imagen:    Im(f) = R 4)   Continuidad:    es continua en todo R. 5)   Periodicidad:    no es periódica. 6)   Simetrías:    tiene simetría impar, pues f(-x) = (-x)3 = - x3 = - f(x) 7)   Asíntotas:    no tiene asíntotas.

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• 8)   Cortes con los ejes:  Cortes con el eje X:    f(x) = 0     ⇔     x3 = 0   ⇔   x = 0   Cortes con el eje Y:     como   d = 0    ⇒     (0 , 0)

EJEMPLO

• Un ejemplo de función cúbica es: y = f(x) = x3, es la llamada: parábola cúbica

FUNCIÓN RACIONAL

• Una función racional es una función que puede escribirse como cociente de dos polinomios. Si el denominador es un número (un polinomio de grado 0), entonces la función es un polinomio. Por lo tanto, las funciones polinómicas son funciones racionales.

CARACTERÍSTICAS

• Toda función racional es de clase C∞ en un dominio que no incluya las raíces del polinomio Q(x). Todas las funciones racionales en las que el grado de Q sea mayor o igual que el grado de P tienen asíntotas (verticales, horizontales u oblicuas). Todas las funciones racionales cuyos coeficientes pertenecen a un cuerpo forman un cuerpo que incluye al cuerpo base como subcuerpo.

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• El cuerpo de funciones racionales forma un subcuerpo del cuerpo de series de potencias formales.

EJEMPLOS:

• 1. f (x) = 3 / (x – 4)  2. f (x) = -3x / (x + 2)  3. f (x) = (x -2) / (x2 – x – 6) 4. f (x) = -4 /  (x – 2)2  4. f (x) = -4 /  (x – 2)2 

ASÍNTOTAS HORIZONTALES Y VERTICALES

• Para localizar las asíntotas verticales en funciones racionales, se hallan los valores de " x " que anulan el denominador, pero no el numerador. * Para localizar una "asíntota vertical" de una función f(x) basta localizar puntos "k" en donde la función no esté definida. Una recta de ecuación " y=k " es una ASÍNTOTA HORIZONTAL de la función f(x) si la gráfica de ésta se parece cada vez mas a la recta " y=k " para valores grandes (en valor absoluto) de "x".

CARACTERÍSTICAS

• Asíntotas verticales: rectas perpendiculares al eje de las abscisas, de ecuación x = constante. Asíntotas horizontales: rectas perpendiculares al eje de las ordenadas, de ecuación y = constante.

EJEMPLOS DE ASÍNTOTAS HORIZONTALES Y VERTICALES

FUNCIÓN ESCALONADA

• Una función escalonada es aquella función definida a trozos que en cualquier intervalo finito [a, b] en que esté definida tiene un número finito de discontinuidades c1 

CARACTERÍSTICAS

• La composición de cualquier función escalonada s(x) y una función cualquiera f(x) da por resultado una función escalonada g(x) = f(s(x)), siempre que f(x) esté definida para cualquier valor de x en el rango de s(x). Evidentemente, la derivada de una función escalonada es 0 en cualquier punto en que se halle definida. No puede definirse en los puntos en que hay discontinuidades.

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