ejercicio utilizando la razon de cambio

ejercicio

Se bombea aire hacia el interior de un globo esferico de modo que su volumen aumenta a razon de 100 cm3/s

pregunta problema

¿con que rapidez crece el radio del globo cuando su diametro es de 50cm?

dibujo pertinente

analisis

pautas principales

• dv/dt= 100cm3/s velocidad con que entra el aire al globo
• dr/dt=? cuando su diametro es 50c
• r=25 cm ya que es el radio es la mitad del diametro.

datos necesarios

importante!

• formula para allar el volumen de una esfera en terminos del radio. v=3/4πr^3
• π = 3,14159265...

importante

• dv/dt= razon de cambio donde dv: representa volumen y dt: representa tiempo.
• dr/dt=razon de cambio donde dr: representa el radio y dt: repesenta el tiempo

solucion!

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• v=3/4πr^3 se aplica la ecuacion.
• se deriva y se expresa en : dv/dt=4/3π x 3r^2 x dr/dt .donde 4/3π es el componente constante, r^3es la parte que varia y cuando se deriva queda: 3r^2 y dr/dt es la derivada interna.
• al simplificar se cancelan los #3 en la derivada. dv/dt=4π x r^2 x dr/dt.

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• se despeja dr/dt ya que es la incognita del problema. dr/dt=(dv/dt)/4πr^2.
• se sustituye (dv/ dt):por 100cm3/s y(r): por 25 dr/dt=(100cm3/s )/4π(25)^2.ya que es son sus valores correspondientes.

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• se opera en el denominador (25x25) o (25)^2=625 yaque esa al cuadrado y el resultado:(625) multiplicado por 4π =(2500π)
• dv/dt=(100cm3/s)/2500π.
• se simplifica cancelando los ceros del denominador con los del numerador y queda y la respuesta final del ejercicio es: dv/dt=(1)/25π(cm/s) ó dv/dt=0,0127 (cm/s)
• asi que esta es la razon con que crece el globo cuando hay un radio de 25cm.