USO DE LAS DERIVADAS

SITUACIÓN

• Un heladero ha comprobado que, a un precio de 50 céntimos de euro la unidad, vende una media de 200 helados diarios. Por cada céntimo que aumenta el precio, vende dos helados menos al día. Si el coste por unidad es de 40 céntimos.

PROBLEMA

• ¿A qué precio de venta es máximo el beneficio diario que obtiene el heladero?
• ¿Cual será ese beneficio?

SOLUCIÓN

• Llamamos x al número de céntimos en los que aumenta el precio. Así, cada helado costará 50 + x céntimos; y venderá 200 - 2x helados diarios.
• Por tanto, por la venta de los helados obtendrá unos ingresos: I (x) = (50 + x) (200 - 2x)

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• Pero tiene unos gastos de: G (x) = (200 - 2x) · 40

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• Luego, el beneficio será de:
• B (x) = I (x) - G (x) =
• (50 + x) (200 - 2x) - (200 - 2x) · 40
• =(200 - 2x) (50 + x - 40) =
• = (200 - 2x) (x + 10) = -2x2 + 180x + 2000

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• Hallamos x para que el beneficio sea máximo
• B'(x) = -4x + 180
• B'(x) = 0 → -4x + 180 = 0 → x = 45
• B''(x) = -4; B''(45)

RESPUESTA

• Por tanto, obtendrá el máximo beneficio vendiendo cada helado a 50 + 45 céntimos de euro. En este caso, el beneficio sería de B (45) = 6050 céntimos, es decir, de 60,50 euros.

CONCLUSIÓN

• Las derivadas funcionaron para poder llegar al máximo beneficio que el ejercicio nos pedía.
• Las derivadas también sirven para hacer cambios en las funciones y así reducirlas.

BIBLIOGRAFÍA

• http://personal.us.es/jsmonter/jes1/pdf/pbderivadas.pdf